В продолженипи разговора о пределе функции

[vladimir000]

Под катом - продолжение разговора из
http://mithrilian.livejournal.com/592212.html
http://mithrilian.livejournal.com/592410.html

Сугубая математика, слабонервным читать не рекомендуется:)

Тонкость в том, что в любой дельта-окресности существует ненулевое по мощности множество точек, в котором функция не определена. Если мы допускаем расширение понятие предела на такие ситуации, нам придется распрощаться с кучей полезнейших свойств пределов, начиная с такого:

Если существует конечный предел f(x) при x->a, и существует конечный предел g(x) при x->a, то существует предел функции (f(x)+g(x)), и он равен сумме пределов функций f и g.

Доказательство:

положим f(x) = 1 + sqrt (x*sin(1/x-0.001))
g(x) = 2 + sqrt (x*sin(-1/x-0.001))
x->0

Пределы "в расширенном смысле" у обеих функций существуют, но функция f+g не определена нигде в R. Больше того, если начать ее определять кусочно "в области определения f но не g берем f, и наоборот", то получаем что имеются две предельные точки, но предела нет вообще.

Как ситуацию исправить малой кровью, я навскидку не нашел, так что предпочитаю решать задачу о комплексной функции вещественного переменного:)

Comments

[uvanimo-bark.livejournal.com]

Как ситуацию исправить малой кровью, я навскидку не нашел, так что предпочитаю решать задачу о комплексной функции вещественного переменного:)

Солидарен:)

[vladimir000]

ну вот, осталось о мировоззренческом смысле Пятого Постулата договориться - и можно будет к штанам Арагорна переходить:)))

[slobin.livejournal.com]

Я знаю, он их у Пифагора украл! ;-)

... Как мюмзики в мове ...

[vitus_wagner]

Скорее наоборот - Пифагор у него. Поскольку про существование штанов у Пифагора каждому школьнику известно. А вот где у Арагорна штаны...

[uvanimo-bark.livejournal.com]

Не, со штанами Арагорна вроде Талиорне разобрался. Если я правильно помню,
дунаданы этот полезный предмет позаимствовали у древних хоббитов:)

[vladimir000]

Это у хоббитов-то что-то позаимствовать?! :)

[uvanimo-bark.livejournal.com]

Ну да. У Профессора отыскалось письмо, в котором он сообщил, что хоббиты носили бриджи.

Ты лучше сюда (http://uvanimo-bark.livejournal.com/107789.html?mode=reply) посмотри.
Теперь я знаю, зачем России нанотехнологии:)

[vladimir000]

Уже. Готовый сюжет для нигерийских писем.

Вдогонку

[uvanimo-bark.livejournal.com]

Или обращать внимание на области определения.
Аналогичная ситуация с неограниченными операторами.
Если A,B: X -> Y, то A+B - оператор с областью
определения Dom(A+B)=Dom(A)\cap Dom(B) - которая
вполне может состоять из одного нуля.

да вот только

[a-shen.livejournal.com]

sin 1/z уже не будет ограниченным и с пределом возникнут проблемы:-)

от удивления не прочитал внимательно, прошу прощения

[a-shen.livejournal.com]

если действительно рассматривать комплексную (многозначную?) функцию вещественного аргумента, то тогда конечно

Re: от удивления не прочитал внимательно, прошу прощени

[vladimir000]

Именно так. В ссылках обсуждалось, как можно привести к человеческому виду некорректную изначально задачу.

Re: от удивления не прочитал внимательно, прошу прощени

[uvanimo-bark.livejournal.com]

Прощаю:) А то я уже ратоборствовать собрался:))

[slobin.livejournal.com]

Покопался на полке, нашёл учебник Кудрявцева. Я учился не по нему, но какой есть, такой есть. Полезное свойство предела, которое Вы рассматриваете, у него идёт пунктом 6° параграфа §6.7. При этом в начале параграфа 6.7 прямым текстом написано: “В пп. 6.7–6.12 все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве X⊂R и x₀ — его точка прикосновения, конечная или бесконечно удалённая.” (точкой прикосновения он называет предельную точку). Так что для определённых на разных (а тем более не пересекающихся) множествах функций никто ничего не обещал.

... Торможение свободного взлетания ...

[vladimir000]

Повторюсь - мне такое расширенное определение категорически не нравится, потому что непонятно как на его базе определять непрерывность, производную и тем более - интегральные суммы.

[slobin.livejournal.com]

Оно не "расширенное", оно стандартное. Непрерывность определяется буквально, но несколько контринтуитивно: например, функция, определённая в одной-единственной точке, будет в ней непрерывной. И сужать это определение, ограничивать его только "приличными" функциями нельзя -- теряем большую часть топологии. А вот производная определяется именно так, как Вы (или мы на "ты"?) хотите -- требуется определённость функции всюду на окрестности. Далее: интеграл Римана определён только для "приличных" функций, интеграл Лебега как раз расширяет его на функции, определённые на дырявых множествах. Всё уже украдено до нас.

... In order to demonstrate a mercy it executes it ...

[vladimir000]

Не люблю я топопологию, метрику мне подавай:) А в Сети я всегда на "ты" предпочитаю:)

[slobin.livejournal.com]

А, ясно. А я, наоборот, перестал понимать топологию в тот момент, когда в ней появилась метрика. Ну не люблю я realьность, что тут поделаешь! ;-)

... ko na sisku lo logji lo'i na te punji be ri bei do ...